Banyak dari soal matematika yang dirasa membosankan, namun lain halnya bagi yang suka akan tantangan dan giat berlatih dengan keras apalagi menyangkut hal yang berkaitan dengan kehidupan nyata sehari-hari. Kali ini kita akan membahas perkalian matriks yang terdengar membuat kita sangat malas mengerjakannya, namun jangan khawatir kita akan coba dalami setahap demi setahap agar lebih mudah dipahami dengan baik.

Matriks

Sebelum lebih jauh kita kenali dulu yang namanya Matriks. Matriks merupakan suatu himpunan bilangan di dalam tanda kurung siku atau tanda kurung tegak besar yang terdiri dari baris dan kolom suku bilangan. Seperti contoh sebuah matriks di bawah ini yang terdiri dari enam suku bilangan dalam dua baris dan tiga kolom, biasa disebut dengan matriks 2×3.

Bagaimana? Sudah lumayan cukup kenal? Awas, jangan sampai tertukar mana yang baris dan mana yang kolom. Lanjut kita coba untuk mengkalikan matriks.
 

Perkalian Matriks

Perkalian Bilangan Tunggal dengan Matriks

Suatu bilangan tunggal dapat dikalikan dengan suatu matriks. Caranya mudah banget:

Sebutan untuk angka 3 di atas adalah skalar, sehingga jenis perkalian ini dinamakan juga sebagai perkalian skalar.

Lalu bagaimana cara perkalian suatu matriks dengan matriks lainnya?


Perkalian Matriks dengan Matriks

Untuk perkalian matriks dengan matriks caranya adalah mengkalikan suku bilangan yang telah disesuaikan menurut baris dan kolom, kemudian dijumlahkan. Cara ini dinamakan dengan perkalian titik.

Berikut langkah penyelesaian perkalian matriks baris pertama dan kolom pertama.

(5, 3, 1) • (9, 8, 7) = 5 × 9 + 3 × 8 + 1 × 7
= 76

Langkah pertama yaitu mencocokkan suku bilangan pertama (5 dan 9), lalu kalikan, begitu pula untuk suku bilangan kedua (3 dan 8) dan ketiga (1 dan 7), selanjutnya langkah terakhir yaitu menjumlahkan keseluruhan.

Mudah bukan? Ini adalah penyelesaian perkalian matriks baris pertama dan kolom kedua.

(5, 3, 1) • (11, 12, 10) = 5 × 11 + 3 × 12 + 1 × 10
= 101

Dengan cara yang sama kita bisa selesaikan baris kedua dan kolom pertama.

(4, 2, 6) • (9, 8, 7) = 4 × 9 + 2 × 8 + 6 × 7
= 94

Dan yang terakhir penyelesaian untuk baris kedua dan kolom kedua.

(4, 2, 6) • (11, 12, 10) = 4 × 11 + 2 × 12 + 6 × 10
= 128

Sehingga hasilnya adalah:

Beres.

Apakah perkalian matriks ini memang berguna dalam kehidupan nyata sehari-hari? 

Meskipun kelihatannya rumit, berat, dan cara perhitungan ini tidak biasa bagi kebanyakan orang, tapi kenyataannya memang sangat dibutuhkan. Contohnya untuk kasus berikut yang sangat menggambarkan perkalian matriks ini: 

Bu Tuti berjualan keripik secara daring dengan tiga varian yang harganya berbeda-beda dalam kemasan masing-masing 250 gram. Beliau menjual keripik pisang Rp11.500, keripik singkong Rp10.000, dan keripik tempe Rp15.000. Bu Tuti mencatat jumlah penjualan masing-masing keripik tersebut selama tiga hari ke dalam tabel berikut.

Fakta dalam kasus di atas, kita hanya dapat menggunakan perkalian titik untuk menjumlahkan harga keripik dan berapa jumlah keripik yang telah berhasil dijual. Langkah-langkahnya adalah kita cocokkan terlebih dahulu harga dan jumlah terjual, lalu mengkalikan masing-masing, dan terakhir kita jumlahkan hasilnya.

(Rp11.500,Rp10.000,Rp15.000) • (9,7,13) = Rp11.500 × 9 + Rp10.000 × 7 + Rp15.000 × 13 

= Rp368.500

Atau jumlah penjualan pada hari Jumat perhitungannya adalah:

Jumlah harga k. pisang + Jumlah harga k. singkong + Jumlah harga k. tempe

Rp11.500 × 9 + Rp10.000 × 7 + Rp15.000 × 13 = Rp368.500

Begitu pula untuk hari-hari yang lainnya:

Sabtu: Rp11.500 × 7 + Rp10.000 × 10 + Rp15.000 × 0 = Rp180.500

Minggu: Rp11.500 × 16 + Rp10.000 × 18 + Rp15.000 × 0 = Rp364.000

Dalam bentuk matriks, hasilnya seperti ini:


Fakta Unik Perkalian Matriks #1: Susunan Perkalian

Dalam aritmetika, operasi perkalian jika dilakukan pertukaran tempat maka akan menghasilkan nilai yang sama. 

1×2 = 2×1

Operasi perkalian ini dikenal dengan istilah perkalian komutatif. Namun, perkalian matriks bukan merupakan perkalian komutatif. 

AB ≠ BA

Saat matriks dilakukan pertukaran tempat, hasilnya akan berbeda. Seperti yang terlihat pada gambar di bawah ini: 



Fakta Unik Perkalian Matriks #2: Kolom dan Baris (Ordo)

Secara umum, untuk perkalian matriks a×n dengan matriks n×b, agar menghasilkan matriks a×b maka nilai n harus sama.

a×n × n×b → a×b

Dalam contoh di bawah ini, kita akan coba mengkalikan matriks pertama 1×2 dengan matriks kedua 2×3. 


Matriks pertama memiliki 2 kolom, sedangkan matriks kedua memiliki 2 baris sehingga sama-sama ber-angka 2 maka matriks yang dihasilkan adalah 1×3.

Kita coba dengan contoh perkalian matriks 1×2 dengan 2×1 maka akan menghasilkan matriks 1×1.


Akan tetapi, jika matriks 2×1 dikalikan dengan matriks 1×2, hasilnya adalah matriks 2×2.


Fakta Unik Perkalian Matriks #3: Matriks Identitas

Terdapat suatu matriks yang dikenal dengan istilah matriks identitas, dimana jenis matriks ini artinya sama dengan angka 1. Jadi berapapun bilangan yang dikalikan dengan angka 1 maka tentunya akan menghasilkan nilai bilangan yang sama dengan aslinya dan artinya bilangan tersebut tidak berubah. Oleh karena itu, matriks ini dapat dikatakan sebagai matriks istimewa.

Adapun ciri-ciri dari matriks identitas adalah; 

  • Selalu disimbolkan dengan huruf "I".

  • Berapapun jumlah kolom dan baris, tidak menjadi masalah asalkan memiliki jumlah kolom dan baris yang sama. 
  • Memiliki angka 1 sebagai suku bilangan yang semuanya tersebar secara lurus diagonal, sedangkan suku bilangan lainnya ber-angka 0.
Perkalian matriks identitas sama dengan perkalian komutatif, meskipun bertukar tempat tetap akan menghasilkan nilai yang sama. Konsepnya seperti ini:

A × I = A

I × A = A

Dimana A adalah matriks dengan ordo yang sama dengan I.

Ini adalah contoh perkalian matriks 3×3 dengan matriks identitas:


Saat dilakukan pertukaran tempat hasilnya tetap sama:




Demikian pembahasan kali ini tentang perkalian matriks. Semoga bermanfaat dan tetap semangat belajar apapun keadaannya.